图的谢尔宾斯基积

本文引入一种类积运算，推广了广义谢尔宾斯基图的构造。设 $G,H$ 为图，$f: V(G) \to V(H)$ 为一函数。则关于 $f$ 的 $G$ 与 $H$ 的谢尔宾斯基积定义为一个对 $(K,\varphi)$，其中 $K$ 是以顶点集 $V(G) \times V(H)$ 上的图，具有两类边：—— 对每个 $g\in V(G)$ 和每个 $\{h,h'\}\in E(H)$，$\{(g,h),(g,h')\}$ 是 $K$ 中的边；—— 对每个边 $\{g,g'\} \in E(G)$，$\{(g,f(g')),(g',f(g))\}$ 是 $K$ 中的边；且 $\varphi: V(G) \to V(K)$ 是将每个顶点 $g \in V(G)$ 映射到顶点 $(g,f(g)) \in V(K)$ 的函数。图 $K$ 记为 $G\otimes_f H$。函数 $\varphi$ 用于定义多于两个因子的积。通过对同一图应用此运算 $n$ 次，我们得到第 $n$ 个广义谢尔宾斯基图。给出了谢尔宾斯基积的一些基本性质。特别地，我们表明 $G \otimes_f H$ 连通当且仅当 $G$ 和 $H$ 均连通，并给出了 $G,H$ 为使 $G \otimes_f H$ 为平面图必须满足的一些必要充分条件。关于对称性性质，我们展示了 $G$ 和 $H$ 的哪些自同构可扩展为 $G \otimes_f H$ 的自同构。在许多情况下我们也能描述 $G\otimes_f H$ 的整个自同构群。