图乘积中 k-匹配与 k-正则子图的构造

图 $G=(V,E)$ 的 $k$-匹配 $M$ 是子集 $M\subseteq E$,使得 $G$ 的子图 $F = (V,M)$ 中每个连通分支要么是单顶点图,要么是 $k$-正则的,即每个顶点度为 $k$。本文中,我们关注四种标准图乘积中的 $k$-匹配:笛卡尔积、强积、直积和字典积。正如我们将看到的,在图乘积中寻找非空 $k$-匹配($k\geq 3$)是 NP-完全的。由于该问题的一般难处理性,我们聚焦于基于其因子 $G$ 和 $H$ 各自的 $k_G$-匹配 $M_G$ 和 $k_H$-匹配 $M_H$,在图乘积 $G\star H$ 中构造 $k$-匹配的若干多项式时间构造方法。特别地,我们关注因子必须满足的性质,以使这些构造在相应乘积中给出最大 $k$-匹配。此类构造也称为“良态的”(well-behaved),我们给出了这类 $k$-匹配的若干刻画。我们在图乘积中构造的具体 $k$-匹配满足弱同态保持(weak-homomorphism preserving)的性质,即乘积中构造的匹配边绝不会被“投影”到因子中的非匹配边。这引出了弱同态保持 $k$-匹配的概念。尽管此处构造的具体 $k$-匹配不总是乘积的最大 $k$-匹配,它们在所有弱同态保持 $k$-匹配中总是具有最大大小。然而,并非所有弱同态保持 $k$-匹配都能以我们的方式构造。因此,在因子中匹配满足一些一般假设的前提下,我们将确定相应图乘积中所有弱同态保持 $k$-匹配里最大大小元素的尺寸。