用于欠阻尼朗之万 MCMC 的偏移 ODE 方法

本文考虑欠阻尼朗之万扩散（ULD），并基于其关联常微分方程（ODE）提出一种数值近似。当用作马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法时，我们在目标分布的标准光滑性与强凸性假设下证明，该 ODE 近似在 $\mathcal{O}\big(d^{\frac{1}{3}}/\varepsilon^{\frac{2}{3}}\big)$ 步内达到 $2$-Wasserstein 误差 $\varepsilon$。这与 Shen 和 Lee [NeurIPS 2019] 提出的随机中点法复杂度一致，而后者被 Cao、Lu 和 Wang 证明为阶最优。然而，所提数值方法的主要特点是可利用目标对数密度 $f$ 的额外光滑性。具体而言，当假设 $f$ 的 Hessian 与三阶导 Lipschitz 连续时，我们证明该 ODE 近似分别在 $\mathcal{O}\big(d^{\frac{2}{5}}/\varepsilon^{\frac{2}{5}}\big)$ 与 $\mathcal{O}\big(\sqrt{d}/\varepsilon^{\frac{1}{3}}\big)$ 步内达到 $2$-Wasserstein 误差 $\varepsilon$。通过使用三阶龙格-库塔法离散此 ODE，我们可获得一种实用的 MCMC 方法，每步仅多使用两次梯度计算。在目标来自逻辑回归的实验中，该方法较其他未调整朗之万 MCMC 算法表现出更快收敛。