鲨鱼鳍函数：变点情形下点过程滤波导数的渐近行为

近期提出了一种用于分析和检测直线上点过程中速率变点的多重滤波检验 (MFT)。该基础统计检验研究速率恒定的零假设。为此，同时观测多个滤波导数过程。在零假设下，每个过程 $G$ 渐近地呈现形式 \begin{align*} G \sim L, \end{align*} 其中 $L$ 是均值为零、方差为单位方差的高斯过程。该结果用于推导统计假设检验的拒绝阈值。本文旨在描述 $G$ 在速率变化及潜在同时方差变化的备择假设下的行为。我们推导了近似式 \begin{align*} G \sim \Delta \cdot\left(\Lambda + L\right), \end{align*} 其中包含确定性函数 $\Delta$ 和 $\Lambda$。函数 $\Lambda$ 解释了 $G$ 在变点邻域内的系统性偏差。当仅速率发生变化时，$\Lambda$ 呈帽状；当方差也发生变化时，$\Lambda$ 呈现鲨鱼鳍形状。此外，实际应用中所需的参数估计量在变点邻域内不一致。因此，我们推导了此处称为畸变函数的因子 $\Delta$。它解释了不一致性的缺失，并描述了相对于滤波导数过程真实尺度的局部参数估计过程。