七维完美德劳内多胞体与德劳内单形

对于 $R^n$ 中的格 $L$，中心 $c$ 半径 $r$ 的球 $S(c,r)$ 若对任意 $v\in L$ 有 $\Vert v - c\Vert \geq r$ 则称为{\em 空}球。则 $S(c,r)\cap L$ 是{\em 德劳内多胞体} $P=conv(S(c,r)\cap L)$ 的顶点集。若任意仿射变换 $\phi$ 使得 $\phi(P)$ 为德劳内多胞体必为空间等距与同位相似的复合，则称德劳内多胞体为{\em 完美}的。完美德劳内多胞体是仅当 $n=1$ 或 $n\geq 6$ 时存在的显著结构，最近出现在覆盖极大值研究中。本文给出一种基于Erdahl锥的通用枚举算法。我们在7维应用该算法，发现仅有两个完美德劳内多胞体：根格 $\mathsf{E}_7$ 中的 $3_{21}$（是一个德劳内多胞体）和Erdahl Rybnikov多胞体。进而利用此分类得到7维所有类型德劳内单形的列表，找到了11种。