基于狄拉克双线性型的自耦合 Einstein-Cartan-Dirac 方程

在本文中，我们给出了弯曲 Riemann-Cartan 时空（具有挠率）中狄拉克方程（狄拉克场的内禀自旋-1/2 意味着存在非零挠率）的代数重排或矩阵反演。然后我们证明该反演如何导致用狄拉克双线性型重新表述完全非线性和自相互作用的 Einstein-Cartan-Dirac 场方程。数十年来已知，与电磁场相互作用的带电费米子的狄拉克方程可以进行代数反演，从而得到规范场四矢量势用旋量的显式有理表达式。将该表达式代入麦克斯韦方程可得到自相互作用 Maxwell-Dirac 方程的双线性形式。在当前的（纯引力）情形中，反演过程产生用狄拉克双线性型表示的“两个”有理四矢量表达式，它们充当电磁矢量势的引力类比。这些“势”也作为联络的不可约直和分量出现，同时还有一个混合对称的无迹残余项。当考虑挠率场方程时，残余项可写为非完整对象（object of anholonomity）的函数。利用与随狄拉克物质共动的观测者相关联的局部四脚标架，一般的 vierbein 标架可用四个狄拉克双线性矢量场描述，并由一个标量场和赝标量场归一化。由此推论，在狄拉克场非零的区域，自耦合 Einstein-Cartan-Dirac 方程原则上可仅用狄拉克双线性型表示。