正常曲率空间中量子开普勒问题的Runge-Lenz矢量与复抛物坐标

与Lobachevsky空间$H_{3}$类似，我们在正常曲率黎曼空间模型$S_{3}$中引入了广义抛物坐标$(t_{1},t_{2},\phi)$。在这种情况下，抛物坐标变为复值，并满足涉及复共轭的附加限制。在该复坐标系中，我们研究了量子力学库仑问题：进行了变量分离，并获得了用超几何函数表示的波解。在分离变量时，引入了两个参数$k_{1}$和$k_{2}$，并找到了一个具有特征值$(k_{1}+k_{2})$的算符$B$，它与空间$S_{3}$中已知的Runge-Lenz矢量的第三分量关系如下：$i B = A _{3} + i \vec{L}^{2}$，而在Lobachevsky空间中则为$B =A_{3} + \vec{L}^{2}$。我们还讨论了在实空间模型$S_{3}$中使用复坐标系的可能性的一般方面。