量子系统约化的一个例子

为求解量子力学问题，我们建立了向由给定经典轨迹所破坏的（子）群生成元构成的线性空间 $W$ 映射的程序。该形式体系以平面氢原子模型为例加以说明。通过注意到 Runge-Lentz 矢量 $n$ 的守恒，并将 4 维入射相空间 $T$ 约化到 3 维线性子空间 $W=T^* V\times R^1$（其中 $T^* V$ 是（角动量（$l$）-角度（$\vp$））相空间，且 $R^1 =n$），问题得以解决。明确表明：（i）由于约化，$R^1$ 中的运动是纯经典的；（ii）$\vp$ 方向的运动是经典的，因为开普勒轨道与初始条件无关地闭合；（iii）$l$ 方向的运动是经典的，因为所有相应的量子修正都定义在该问题的分岔线（$l=\infty$）上。用我们的术语来说，氢原子问题是精确准经典的，并因这些理由而完全可积。