光锥弦的粗糙与光滑

Poincar\'e 群酉表示的生成元中的多项式构成一个代数,该代数将光滑、速降波函数稠密子空间 S 映射到自身。这一数学结果深受物理学家欢迎,他们此前只是假定其对无界算子的代数处理是合理的。然而,光滑性有一个副作用:一个粗糙算子 R 若不将 S 的某个稠密子空间映射到自身,则必须证明它允许某个其他稠密定义域,该定义域被 R 及所有生成元都映射到自身。否则它们的代数乘积、它们的级联就没有定义。光锥弦的正则量子化假定算子 $-i X^1$ 和 $P^- = (P^0 - P^z)/2$ 以及作为它们对易子的乘法算子 R = P^1/(P^0 + P^z)。这在无质量动量的负 z 轴上不是光滑的而是粗糙的。仅利用 P^m 与 $P^i$-$P^z$ 平面内旋转的 generators $-i M_iz$ 的对易关系,我们证明在无质量态上算子 $R$ 与 SO(D-1) 的酉表示不一致。这使得玻色弦临界维数 $D=26$ 的代数确定变得无意义:若光锥弦的无质量态容许 R,则它们不容许 Poincar\'e 群的子群 SO(D-1) 的酉表示。用类似论证我们证明:无质量多重态与由自伴空间位置算子 $X$ 生成的空间动量平移群不一致。