滚动切向空间：关于平行运输与测地线的被遗忘视角

给定亚流形 $M\subset \mathbf{R}^\nu$，曲线 $\gamma:I\to M$ 沿该曲线的切向量 $v$，我们沿曲线滚动切向空间。通过这种方式，我们获得了 $\gamma$ 在切向空间上的印记/痕迹，以及切向量的印记/痕迹。我们展示了对于沿 $\gamma$ 的向量场 $v$，其协变导数的印记/痕迹是其印记/痕迹向量场的普通导数。这随后很容易得出：$v$ 是沿 $\gamma$ 的平行向量集合当且仅当它们在（仿射）切向空间上的印记/痕迹是常数；$\gamma$ 是测地线当且仅当其在切向空间上的痕迹是一条直线。