凸性在鞍点动力学中的作用：李雅普诺夫函数与鲁棒性

本文研究了与凸凹函数（我们称之为鞍函数）相关的投影鞍点动力学。该动力学包含对对应于凸性的变量进行鞍函数梯度下降，以及对对应于凹性的变量进行（投影）梯度上升。我们考察了鞍函数凸凹性质的局部和/或全局特性在保证动力学收敛性和鲁棒性方面的作用。在鞍函数二次连续可微的假设下，我们提供了该动力学轨迹的omega极限集通过Hessian对角块的新型表征。利用此表征，我们建立了在鞍函数局部强凸强凹下动力学的全局渐近收敛性。当强凸强凹全局成立时，我们建立了三个结果。首先，对于一般约束凸优化问题的拉格朗日函数对应的鞍函数，我们识别了投影鞍点动力学的李雅普诺夫函数（沿轨迹严格递减）。其次，对于鞍函数为等式约束优化问题的拉格朗日函数这一特例，我们通过提供ISS李雅普诺夫函数展示了鞍点动力学的输入到状态稳定性。第三，我们利用后一结果设计了该动力学的机会主义状态触发实现。多个例子说明了我们的结果。