黎曼流形上投影原始对偶动力学的指数稳定性
最优化与控制
2019-05-14 v1 微分几何
摘要
凸优化、鞍点问题与变分不等式的等价性是一个公认的概念。变分不等式（VI）是一个静态问题，在称为投影动力系统的框架下于动力学环境中进行研究，其驻点与相应VI的静态解一致。VI关于其向量值映射的单调性及解的唯一性具有丰富性质，这些性质可推广至凸优化与鞍点问题，也可推广至代表性的投影动力系统。本文旨在利用代表性投影动力系统的丰富单调性性质，发展凸优化问题及其相关鞍点问题的解概念。为此，本文研究一类线性不等式约束的凸优化问题，并将其等价的鞍点问题建模为VI。进一步，将该VI作为投影动力系统[1]进行研究，证明其收敛至鞍点解。通过将拉格朗日函数梯度的单调性作为关键因素，本文建立了关于鞍点的指数收敛与稳定性结果。我们的结果表明，拉格朗日函数的梯度在欧氏空间上仅是单调的，导致投影动力系统驻点仅具李雅普诺夫稳定性。为弥补此不足，将底层投影动力系统构建于黎曼流形上，选取合适的黎曼度量使拉格朗日函数梯度变为强单调。借助合适的李雅普诺夫函数，证明了投影动力系统驻点全局指数稳定并收敛至唯一鞍点。
引用
@article{arxiv.1905.04521,
title = {On the Exponential Stability of Projected Primal-Dual Dynamics on a Riemannian Manifold},
author = {P. A. Bansode and V. Chinde and S. R. Wagh and R. Pasumarthy and N. M. Singh},
journal= {arXiv preprint arXiv:1905.04521},
year = {2019}
}