广义基尼指数的稳健性

在本文中，我们引入了一个映射 $\Phi$，我们称之为\textit{zonoid 映射}，它将 $\mathbb{R}^n$ 上所有具有有限一阶矩的非负有限 Borel 测度空间映射到 $\mathbb{R}^n$ 的 zonoid 空间。这个映射连接了 Borel 测度论与 zonoid 理论，使我们能够略微推广 Dosi、Grazzi、Marengo 和第二作者于 2016 年在产业经济学背景下引入的基尼体积。该体积基于 zonoid 的几何概念，被引入作为衡量行业内企业间异质性的指标，并因其作为众所周知且广泛使用的基尼指数的多维推广而成为一个相当有趣的指数。通过利用我们定义所提供的数学背景，我们证明了映射 $\Phi$ 的连续性，这反过来又允许我们证明广义基尼指数（以及基尼体积）的 Glivenko-Cantelli 定理的有效性。连续性结果和 Glivenko-Cantelli 定理在处理海量多维数据时都特别有用。