四维椭球辛嵌入到多圆盘中的刚柔值

我们考虑嵌入函数 $c_b(a)$，该函数描述了将椭球 $E(1,a)$ 辛嵌入到多圆盘 $P(1,b)$ 的最小缩放中的问题。先前的工作表明，确定所有 $b$ 对应的整个 $c_b(a)$ 是困难的，因为对于许多无理数 $b$ 的序列可能会出现无限阶梯结构。相比之下，我们证明对于每一个 $b>2$ 的多圆盘 $P(1,b)$，存在一个关于最小 $a$ 的显式公式，使得该嵌入问题仅由体积决定。也就是说，当椭球被充分拉伸时，存在 $E(1,a)$ 的辛嵌入可以完全充满适当缩放的多圆盘 $P(\lambda,\lambda b)$。记为 $RF(b)$，该刚柔（$RF$）值在 $b>2$ 时是分段光滑的，并具有离散的不连续点集。同时，通过在 $a=8$ 处展示 $b_n = \frac{n+1}{n}$ 的一系列阻碍类，我们证明 $c_{b_n}(8)$ 高于体积约束。因此，结合 Frenkel-M"{u}ller 的结果，可知 $RF$ 在 $b=1$ 处也是不连续的。