四维椭球嵌入多圆盘问题的辛嵌入中的无限阶梯

我们研究辛嵌入容量函数 $C_{\beta}$，用于考察当 $\alpha$ 和 $\beta$ 均在 $[1,\infty)$ 中变化时，椭球 $E(1,\alpha)\subset R^4$ 到多圆盘 $P(1,\beta)$ 的膨胀体的嵌入。对于 $\beta=1$，Frenkel 和 Mueller 证明了 $C_{\beta}$ 具有一个累积于 $\alpha=3+2\sqrt{2}$ 的无限阶梯，而对于整数 $\beta\geq 2$，Cristofaro-Gardiner、Frenkel 和 Schlenk 发现不会出现无限阶梯。我们证明，对于任意 $\beta\in (1,\infty)$，$C_{\beta}$ 在 $[1,3+2\sqrt{2}]$ 上的限制完全由 Frenkel 和 Mueller 工作中的阻碍所决定，使得 $C_{\beta}$ 在该区间上具有有限阶梯，且步数随 $\beta\to 1$ 趋于 $\infty$。另一方面，与整数 $\beta$ 的情况相反，对于某个双指标无理数序列 $L_{n,k}$，我们发现 $C_{L_{n,k}}$ 具有无限阶梯；这些 $L_{n,k}$ 既包含任意大的数，也包含任意接近 $1$ 的数，其对应的累积点分别任意大和任意接近 $3+2\sqrt{2}$。