刚体与单摆的再探讨

在本文中，我们重新审视利用欧拉方程的 $SL(2,\mathbb{R})$ 对称性从刚体得到简单单摆的构造方法。我们首先回顾 Holm 和 Marsden 发现的原始关系：从具有李代数 $ISO(2)$ 的扩展刚体的两个 Casimir 函数出发，引入适当的动量映射，便可得到单摆的哈密顿量及其运动方程。该构造的关键在于两个 Casimir 均具有椭圆圆柱的几何结构。通过考虑整个 $SL(2,\mathbb{R})$ 对称群，我们在本文中给出所有能产生简单单摆的 Casimir 函数组合及相应动量映射，表明当一个 Casimir 的几何为双曲圆柱而另一个为椭圆圆柱时，该系统同样可以出现。结果表明，从具有李代数 $ISO(1,1)$ 的扩展刚体也可得到单摆，但仅限圆周运动。最后，作为我们分析的一个副产品，我们给出了产生虚时间单摆的动量映射。我们的讨论兼顾代数与几何两种视角。