射影维数为二的有限长度模的泛环之分解

Hochster 确立了存在一个交换 noetherian 环 $\Cal R$ 和一个泛分解 $\Bbb U$，形如 $0\to \Cal R^{e}\to \Cal R^{f}\to \Cal R^{g}\to 0$，使得对任意交换 noetherian 环 $S$ 和任意等于 $0\to S^{e}\to S^{f}\to S^{g}\to 0$ 的分解 $\Bbb V$，存在唯一的环同态 $\Cal R\to S$ 满足 $\Bbb V=\Bbb U\otimes_{\Cal R} S$。在本文中我们假设 $f=e+g$，并找到一个 $\Cal R$ 由自由 $\Cal P$-模给出的分解 $\Bbb F$，其中 $\Cal P$ 是整数环上的多项式环。分解 $\Bbb F$ 不是极小的；但它是直白的、无坐标的，并且与特征无关。此外，可用 $\Bbb F$ 计算 $\operatorname{Tor}^{\Cal P}_{\bullet}(\Cal R, \Bbb Z)$。若 $e$ 与 $g$ 都至少为 5，则 $\operatorname{Tor}^{\Cal P}_{\bullet}(\Cal R, \Bbb Z)$ 不是自由阿贝尔群；因此，由自由 $\pmb K\otimes_{\Bbb Z} \Cal P$-模给出的 $\pmb K\otimes_{\Bbb Z} \Cal R$ 的极小分解中的分次 Betti 数依赖于域 $\pmb K$ 的特征。我们以在由 $e\times g$ 矩阵的 $2\times 2$ 子式定义的行列式环上分解除子时出现的模来记录 $\pmb K\otimes_{\Bbb Z} \Cal R$ 的极小 $\pmb K\otimes_{\Bbb Z} \Cal P$ 分解中的模。