Toeplitz 波与 Hankel 波的无反射特性：基于 Bessel 函数的分析
数值分析
2020-05-12 v1 数值分析
经典分析与常微分方程
摘要
我们研究一维空间加时间波动方程在边界处的无反射特性，所用工具是一个由空间简单离散化产生的著名矩阵。已知在此设定下表示 Laplacian 的熟悉二阶差分矩阵的所有矩阵函数均为 Toeplitz 矩阵与 Hankel 矩阵之和。波动方程的解即为此类矩阵函数之一。此处我们研究相应波的行为，称之为 Toeplitz 波与 Hankel 波。我们证明这些波可写为第一类偶阶 Bessel 函数的某些线性组合。我们得到了这些波的精确显式公式。我们还证明 Toeplitz 波与 Hankel 波分别在偶数次与奇数次穿越区域时无反射。我们的分析自然提出了一种新的计算机模拟方法，该方法允许控制，从而可以预先选择反射次数。我们分析中一个引人注目的结果是出现了著名的移位矩阵，以及其他可视为移位矩阵的 Hankel 版本的矩阵。通过以移位矩阵揭示解的代数结构，我们清楚地说明了 Toeplitz 波与 Hankel 波在偶数或奇数次穿越时确实在边界处无反射。尽管无反射边界条件这一主题历史悠久，我们相信此处采用的基于矩阵函数的视角是新颖的。
引用
@article{arxiv.2005.04561,
title = {The reflectionless properties of Toeplitz waves and Hankel waves: an analysis via Bessel functions},
author = {Kevin Burrage and Pamela Burrage and Shev MacNamara},
journal= {arXiv preprint arXiv:2005.04561},
year = {2020}
}