粘合方程的量子内容

尖点双曲三维流形M的粘合方程是关于M的理想三角剖分T的形状的多项式方程组，描述了M的完全双曲结构及其形变。给定Neumann-Zagier数据（包括形状和特定规范形式的粘合方程），我们定义了一个形式幂级数，其系数在M的不变迹域中，该级数应该(a)与Kashaev不变量的渐近展开式在所有阶上一致，并且(b)包含M的非阿贝尔Reidemeister-Ray-Singer挠率作为其第一个次主导的“单圈”项。作为案例研究，我们证明了所构造级数的单圈部分的拓扑不变性，并将其扩展为M的PSL(2,C)特征簇上的有理函数的形式幂级数。我们使用标准SnapPy工具箱提供了级数前三项的计算机实现，并通过数值验证了我们的挠率与所有最多14个交叉的59924个双曲结的Reidemeister-Ray-Singer挠率一致。最后，我们解释了级数的定义如何遵循三维双曲几何的量子化，使用拓扑量子场论原理。我们的结果可以直接推广到任何具有环面边界分支（不一定是双曲的）且允许关于某个PSL(2,C)表示的正则理想三角剖分的三维流形M。