对数Sobolev泛函、$\mathcal{W}$-泛函的幂级数展开与数量曲率刚性

在本文中，我们证明了对数Sobolev泛函和$\mathcal{W}$-泛函在选取适当的检验函数时具有显著的幂级数展开。利用这些展开公式，我们证明了：对于$n$维流形$M$中的开子集$V$，满足$\bar{V}\subset M$，且：(a) $V$上的数量曲率满足下界：$$\operatorname{Sc}(x) \geq n(n-1)K \quad \text{对于所有 } x \in V,$$ (b) $V$的等周轮廓不小于空间形式$M^n_K$的等周轮廓：$$\operatorname{I}(V,\beta) := \inf_{\substack{\Omega\subset V \\ \mathrm{Vol}(\Omega)=\beta}} \mathrm{Area}(\partial \Omega) \geq \operatorname{I}(M^n_K,\beta) \quad \text{对于某个 } \beta_0>0 \text{ 及所有 } 0<\beta<\beta_0,$$ 那么$V$的截面曲率必定满足 $$\operatorname{Sec}(x) = K \quad \text{对于所有 } x \in V.$$ 此外，我们还推导了关于对数Sobolev不等式和Perelman的$\boldsymbol{\mu}$-泛函的一些新的数量曲率刚性定理。