Ricci 曲率衰减假设下的 $p-$抛物性

我们证明，给定 $\alpha>0$，若 $M$ 是完备黎曼流形且其 Ricci 曲率满足 $$\operatorname*{Ric}\nolimits_{x}(v)\geq\alpha\operatorname{sech}^{2} (r(x)))$$ 或 $$\operatorname*{Ric}\nolimits_{x}(v)\geq-\frac{{h_{\alpha}} (r(x))}{r(x)^{2}},$$ 其中 $${h_{\alpha}}(r) = \frac{\alpha(\alpha+1)r(x)^{\alpha }}{r(x)^{\alpha }-1},$$ 对所有 $x\in M\backslash B_{R}(o)$ 及所有 $v\in T_{x}M,$ $\left\Vert v\right\Vert =1,$ 其中 \ $o$ 为 $M$ 的固定点，$r(x)=d(o,x)$，$d$ 为 $M$ 中的黎曼距离，$B_{R}(o)$ 为 $M$ 中以 $o$ 为中心、半径 $R>0$ 的测地球，则若满足第一不等式，$M$ 对任意 $p>1$ 是 $p-$抛物的；若满足第二不等式，$M$ 对任意 $p\geq(\alpha+1)(n-1)+1$ 是 $p-$抛物的。