Riemann 亚投影是否保持正中间 Ricci 曲率？

Pro 和第三作者展示了存在Riemann 亚投影 $\pi: M \to B$，其中 $M$ 是正 Ricci 曲率的紧致流形，其基 $B$ 的 Ricci 曲率具有正负两种符号。因此，Riemann 亚投影不一定保持正 Ricci 曲率。在本文中，我们确定了这一结果在正中间 Ricci 曲率情形下的推广程度。这一观察是 Gray--O'Neill 水平曲率方程的一个直接推论：若 $\pi: M\to B$ 是一个 $b$ 维的Riemann 亚投影且 $\mathrm{Ric}_{k}(M) >0$ 对任何 $k \in \{ 1,2,\cdots, b-1\}$，则 $\mathrm{Ric}_{k}(B)$ 也为正。我们证明了这一观察在以下强意义下是最佳的：对于 $k \geq \mathrm{dim}(B)$，设 $\pi: (M,g_M) \to (B,g_B)$ 是一个完整Riemann 流形上的Riemann 亚投影且 $\mathrm{Ric}_{k}(M) >0$。我们展示如何在 $C^1$ 拓扑下扰动 $g_M$ 以产生Riemann 亚投影 $\pi: (M,\tilde{g}_M) \to (B,\tilde{g}_B)$，其中总空间具有 $\mathrm{Ric}_{k} >0$，但其基的 Ricci 曲率具有正负两种符号。特别是，这表明那些不保持正 Ricci 曲率的Riemann 亚投影在 $C^1$ 拓扑下密集于所有完整度量空间为 $M$ 且 $\mathrm{Ric}>0$ 的度量中，而该亚投影 $\pi: M\to B$ 已给定。