矩阵分数幂的数值半径

利用矩阵分数幂的积分表示以及扇形矩阵的几何直观，我们证明了对于任意 accretive-dissipative 矩阵 $A$ 和任意 $t \in (0,1)$，矩阵 $A^t$ 是 accretive-dissipative 的，且 $$\omega(A^t)\geq \omega^t(A) ,$$ 其中 $\omega(\cdot)$ 为数值半径。该不等式补充了著名的幂不等式 $\omega(A^k)\leq \omega^k(A)$，该不等式对任意方阵和正整数幂 $k$ 成立。作为应用，我们证明了若 $A$ 是 accretive 的，则上述分数不等式在 $0<t<\frac{1}{2}$ 时成立。其他推论也将给出。