椭圆多项式的实零点个数

设 $N_n(a, b)$ 表示次数为 $n$ 的高斯椭圆多项式在区间 $(a, b)$ 上的实零点个数，其中 $a$ 和 $b$ 可随 $n$ 变化。我们得到了 $N_n(a, b)$ 方差的精确公式，并利用该表达式导出了关于大 $n$ 值的渐近展开式。此外，我们给出了 $N_n(a, b)$ 的累积量与中心矩的锐估计。这些估计有助于建立区间 $(a, b)$ 上使 $N_n(a, b)$ 同时满足中心极限定理与强大数定律的充分条件。在论文的第二部分，我们将分析推广到非退化高斯解析函数，包括高斯 Weyl 级数与 Weyl 多项式等著名例子。