使用 +、-、× 和 ÷ 构造的算术表达式在非同构等价类中的个数
组合数学
2026-02-24 v1 数论
摘要
本文旨在计数使用每个变量恰好一次、无常数项、仅使用加法、减法、乘法和除法运算所能构造的 n 个变量函数的不同函数个数（在变量置换意义下）。我们将此类函数称为算术表达式。在此定义下，两个表达式若代表相同的有理函数，则视为相同算术表达式；例如， 与 是相同的算术表达式， 与 也是相同的算术表达式。两个算术表达式若可通过变量置换获得，则称为同构。例如， 与 是同构的。前几项非同构算术表达式的个数为： 为实现此枚举，我们将所有算术表达式划分为 12 个不相交的类别。通过计数每个类别中的所有非同构表达式，可获得所需的总数量。
引用
@article{arxiv.2602.18522,
title = {The number of non-isomorphic arithmetic expressions that can be constructed using +,-,x and /},
author = {Boaz Cohen},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.18522},
year = {2026}
}