度约束图中连通集的数量与平均大小
组合数学
2022-06-13 v2
摘要
连通图的连通顶点子集的平均大小推广了树木子树中被广泛研究的参数。对于树，该参数可能取值受度为 2 的顶点存在与否的临界影响。我们回答了 Andrew Vince 关于度约束对一般连通图影响的两个问题。我们给出了三次图连通集数量最大增长率的新下界和首个非平凡上界，事实上对任意最大度的常数界都得到了非平凡上界。我们证明了无度为 2 顶点的图的连通集密度被界于 1 之外，并通过证明为使连通集密度趋于 1，度为 2 的顶点比例必须趋于 1，推广了 Jamison 关于树的经典结果。最后，我们证明了最小度趋于无穷的任何图序列必有连通集密度趋于 1/2。
引用
@article{arxiv.2105.13332,
title = {The number and average size of connected sets in graphs with degree constraints},
author = {John Haslegrave},
journal= {arXiv preprint arXiv:2105.13332},
year = {2022}
}
备注
11 pages, 2 figures. Final version, to appear in J. Graph Theory