多面体的零集与多面体的 Pompeiu 性质

我们研究多面体 $\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^d$ 的 Fourier-Laplace 变换的零集 $N(\mathcal{P})$，并发现 $N(\mathcal{P})$ 不包含 $\mathbb{R}^d$ 中的（几乎所有）圆。由此，该零集不包含代数簇 $\{z \in \mathbb{C}^d \mid z_1^2 + \dots + z_d^2 = \alpha^2\}$（对每个固定的 $\alpha \in \mathbb{C}$），从而我们得到所有多面体均具有 Pompeiu 性质的显式证明。我们的证明使用了 Brion-Barvinok 定理，该定理给出了多面体 Fourier-Laplace 变换的具体表述，并使用了 Bessel 函数的性质。多面体（以及其他形体）具有 Pompeiu 性质的原始证明由 Brown、Schreiber 和 Taylor（1973）对二维给出。Williams（1976）后来注意到同样的证明对 $d>2$ 也成立，并利用 Laplacian 的特征值给出了对 $d \geq 2$ 多面体具有 Pompeiu 性质的另一个证明。