$L_{p,q}(\mathbb{R}^d)$ 分布的 Fourier 变换关于不确定原理

不确定原理的一个版本表述为：若函数 $f \in L_p(\mathbb{R}^d)$，其傅里叶变换受限于具有有限 $\alpha$-Hausdorff 测度的集合且 $\alpha < 2d/p$，则不存在非零函数。该不确定原理在端点 $\alpha = 2d/p$ 时不成立。我们找到该端点情况下的精确形式。我们证明，当且仅当 $\beta > \frac{q}{2(q-1)}$ 时，存在非零函数在 Lorentz 空间 $L_{p,q}(\mathbb{R}^d)$ 中，其傅里叶变换受限于具有零 $(\frac{2d}{p},\beta)$-Netrusov--Hausdorff 容量的集合。