关于多面体实现空间的维数
度量几何
2020-07-02 v1
摘要
Robertson (1988) 提出了凸 d 维多面体实现空间的一个模型，以及一种借助隐函数定理的方法——在雅可比矩阵满秩的情况下，该方法证明实现空间是维数为 NG(P):=d(f_0+f_{d-1})-f_{0,d-1} 的流形，这是给定变量数减去实现空间定义中所用二次等式数所得的自然维数猜想。尽管这对许多自然的多面体类（包括简单多面体、单纯多面体以及所有维数不超过 3 的多面体）确实成立，且 Robertson 声称这对所有多面体都成立，但 Mnev (1986/1988) 的普适性定理意味着这一般不成立：事实上，(1) 中心化实现空间一般不是光滑嵌入的流形，且 (2) 它一般不具有维数 NG(P)。本文发展了用于分析实现空间的雅可比判据。由此我们轻易得到，对于多类庞大而自然的多面体，其实现空间确实是流形，且维数由 NG(P) 给出。然而，我们也确定了维数计数 (2) 因而 Robertson 的断言失效的最小多面体，其中包括三棱柱上的双锥。对于性质 (1)，我们分析了经典的 24-胞腔：我们证明其实现空间至少具有维数 48，并且存在点为该维数的流形，但它并非处处作为流形光滑嵌入。
引用
@article{arxiv.2007.00645,
title = {On the Dimensions of the Realization Spaces of Polytopes},
author = {Laith Rastanawi and Rainer Sinn and Günter M. Ziegler},
journal= {arXiv preprint arXiv:2007.00645},
year = {2020}
}
备注
25 pages, comments most welcome