平面上的垄断者自由边界问题

我们研究垄断者问题，重点关注分离捆绑与非捆绑消费者的自由边界，特别是在平面上，并给出了其在正方形区域族 $\{(a,a+1)^2\}_{a \ge 0}$ 上解的完整描述。垄断者问题在经济学中是基础性的，但当消费者和产品都具有一个以上的异质性时，通常被认为在分析上是难以处理的。在数学上，该问题是在非负凸函数空间上最小化一个光滑的一致凸拉格朗日量。由此产生的是严格凸与非严格凸区域之间的自由边界问题。我们的工作分为三个部分：研究 $\mathbf{R}^n$ 中凸区域上自由边界问题的结构，证明产品分配映射在大部分固定边界上保持 Lipschitz 连续，且每个 bunch 延伸至该边界；在 $\mathbf{R}^2$ 中证明内部自由边界仅可能以四种特定方式失去光滑性（尖点、高频振荡、杂散 bunch、非横截 bunch）；最后，首次完整求解了正方形族 $\Omega = (a,a+1)^2$ 上的 Rochet 和 Choné 示例，其中我们发现随着到原点的距离 $a \ge 0$ 的增加，首先发生向定向捆绑的分歧，然后发生向钝化捆绑的分歧。我们使用了 Monge-Ampère 方程、障碍问题以及凸序中测度局部化的研究技术。