pq-覆盖的单调群

在这项工作中，我们研究曲线覆盖 $\varphi \circ \psi$ 的单调群 \linebreak $\mathcal{Y}\xrightarrow {\quad {\psi}} \mathcal{X} \xrightarrow {\quad \varphi} \mathbb{P}^{1}$，其中 $\psi$ 是一个 $q$ 重循环 étale 覆盖，$\varphi$ 是一个全分歧的 $p$ 重覆盖，$p$ 和 $q$ 为不同的奇素数。我们证明 $\varphi \circ \psi$ 的伽罗瓦闭包 $\mathcal{Z}$ 的伽罗瓦群 $\mathcal{G}$ 形如 $\mathcal{G} = \mathbb{Z}_q^s \rtimes \mathcal{U}$，其中 $0 \leq s \leq p-1$，且 $\mathcal{U}$ 是次数为 $p$ 的单传递置换群。由于素数次数 $p$ 的单传递置换群已知，并且我们构造了具有这些伽罗瓦群的此类覆盖的实例，该结果与先前已知的假设覆盖 $\varphi$ 为循环的情形截然不同，在那种情况下伽罗瓦群形如 $\mathcal{G} = \mathbb{Z}_q^s \rtimes \mathbb{Z}_p$。此外，我们能够对 $\mathcal{G}$ 的子群 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{N}$ 进行刻画，使得 $\mathcal{Y} = \mathcal{Z}/\mathcal{N}$ 且 $X = \mathcal{Z}/\mathcal{H}$。