最大公约数的矩

形如 $(\gcd(u_n,v_n))_{n \in \mathbb N}$ 的序列，其中 $(u_n)_n$, $(v_n)_n$ 为 $S$-单位之和，已被多个作者所考察。对 $\gcd(n,u_n)$ 的研究对应于Silverman提出的$\mathbb G_{\mathrm{a}} \times \mathbb G_{\mathrm{m}}$分裂代数群中的约数序列；在此情况下，Sanna 确定了当 $(u_n)_n$ 为Lucas数列时，算术函数 $\log\,\gcd (n,u_n)$ 的所有渐近矩。本文我们刻画了矩本身 $\sum_{n \leq x}\,\gcd(n,u_n)^\lambda$ 的渐近行为，从而解决了$\mathbb G_{\mathrm{a}} \times \mathbb G_{\mathrm{m}}$的矩问题。我们给出了无条件和有条件结果，后者仅依赖于分析数论中的标准猜想。