拟阵的 $\mathcal{G}$-不变量与链数据

秩为r、含n个元素的拟阵M的链数据是一个向量$(\nu(M;a_0,a_1,\ldots,a_r))$，由组合$(a_0,a_1,\ldots,a_r)$索引，其中$a_0 \geq 0$，$i \geq 1$时$a_i > 0$，且$a_0+ a_1 + \cdots + a_r = n$，其坐标$\nu (M;a_0,a_1, \ldots,a_r)$等于满足如下条件的平坦（或闭集）的极大链或旗$(X_0,X_1, \ldots,X_r)$的个数：$X_i$的秩为$i$，$|X_0| = a_0$，且$|X_i - X_{i-1}| = a_i$。我们证明M的链数据包含的关于M的信息与其$\mathcal{G}$-不变量相同，后者由H. Derksen定义[\emph{J.\ Algebr.\ Combin.}\ 30 (2009) 43--86]。Tutte多项式是$\mathcal{G}$-不变量的一个特化。我们证明Tutte多项式的许多已知结果在$\mathcal{G}$-不变量上有类比。特别地，我们证明对于许多拟阵构造，$\mathcal{G}$-不变量可由各组成部分的$\mathcal{G}$-不变量算出，且拟阵的$\mathcal{G}$-不变量可由其大小、循环平坦格的同构类（格元素由底层集合的秩和大小标记）算出。我们还证明给定秩和大小的平坦与循环平坦的个数可由$\mathcal{G}$-不变量导出，$\mathcal{G}$-不变量可由M在其余点上的限制的$\mathcal{G}$-不变量集合（deck）重构，并且除自由扩张与余扩张外，可由$\mathcal{G}$-不变量检测一个拟阵是否为自由积。