通过交叉指数视角研究映射指数

我们研究自由 G-序集的交叉指数，作为等部位拓扑指数的组合学类比。我们展示了交叉指数在许多结构属性上表现出与拓扑指数高度相似的性质，同时其关于并的行为在作用群不同时呈现明显的二分性。具体而言，当 P = A ∪ B 为 G-不变子序集的并时，若 G = ℤ₂，则得到尖锐不等式 $$\operatorname{xind} P \le \operatorname{xind} A + \operatorname{xind} B + 1,$$，这直接类比于拓扑指数的经典并不等式。在 contrast 中，对于每一个 G ≠ ℤ₂，此现象一般情况下的失效，我们建立最佳的较弱估计 $$\operatorname{xind} P \le \operatorname{xind} A + 2(\operatorname{xind} B+1).$$，这揭示了 ℤ₂-等部位与非 ℤ₂-等部位在纯组合学层面的根本区别。作为进一步的 consequence，我们比较了交叉指数与拓扑指数和单纯指数，特别是指出交叉指数与拓扑指数之间的差距可以任意大。这些结果阐明了交叉指数作为等部位拓扑指数组合学类比的作用，进一步加强了等部位拓扑方法与具有对称性的组合结构之间的相互作用。