$S^2 \times S^1$ 连通和的映射类群

设 $M_n$ 为 $n$ 个 $S^2 \times S^1$ 副本的连通和。Laudenbach 的一个经典定理指出，映射类群 $\text{Mod}(M_n)$ 是 $\text{Out}(F_n)$ 被由球扭转生成的群 $(\mathbb{Z}/2)^n$ 的一个扩张。我们证明该扩张可分裂，因此 $\text{Mod}(M_n)$ 是 $\text{Out}(F_n)$ 与 $(\mathbb{Z}/2)^n$ 的半直积，其中 $\text{Out}(F_n)$ 通过自然满射 $\text{Out}(F_n) \rightarrow \text{GL}_n(\mathbb{Z}/2)$ 的对偶作用于 $(\mathbb{Z}/2)^n$。我们的分裂将 $\text{Out}(F_n)$ 映到 $\text{Mod}(M_n)$ 中由固定 $M_n$ 切丛平凡化的同伦类的映射类组成的子群。我们的技术也简化了 Laudenbach 原始证明的各个方面，包括将扭转子群辨识为 $(\mathbb{Z}/2)^n$。