半直线上的 Majda-Biello 系统

Majda-Biello 系统模拟 Rossby 波的相互作用。它由两个方程耦合的 KdV 方程组成，其中一个方程的色散项系数为参数 $\alpha$。本工作研究该系统在半直线上具有 Robin、Neumann 和 Dirichlet 边界数据的情况。结果表明，对于 $0<\alpha<1$ 或 $1<\alpha<4$，所有这些问题在 Sobolev 空间 $H^s$（$s\ge 0$）中对初值都是适定的。对于 $\alpha=1$ 或 $\alpha>4$，Dirichlet 数据在 $s>-3/4$ 时适定性成立，而对于 Neumann 和 Robin 数据则取决于数据中相关参数的符号。对于 $\alpha=4$，所有问题在 $s\ge 3/4$ 时适定性成立。Robin 和 Neumann 边界数据属于 $H^{s/3}$，而 Dirichlet 边界数据属于 $H^{(s+1)/3}$。这些与相应线性系统的 Cauchy 问题的时间正则性一致。证明基于利用 Fokas 强迫线性系统解公式导出的 Bourgain 空间中的线性估计，以及由耦合非线性所启示的适当双线性估计。这些表明通过 Fokas 公式定义的迭代映射在适当的解空间中是压缩的。此处获得的所有适定性结果都是最优的。