二维点过程中超均匀性、库仑能量与到勒贝格测度的 Wasserstein 距离之间的联系

我们研究了平稳点过程的三个可能性质之间的相互作用：i) 具有短尺度正则化的有限库仑能量，ii) 到勒贝格测度的有限 $2$-Wasserstein 传输距离，以及 iii) 超均匀性。在 $2$ 维中，我们证明了 i) 蕴含 ii)（已知 ii) 蕴含 iii)），并为两个逆蕴含提供了简单的反例。然而，我们证明了对于具有一致有界点密度的过程，ii) 蕴含 i)，并且 i)——即正则化库仑能量的有限性——等价于某种仅略强于超均匀性本身的定量超均匀性性质。我们的证明依赖于测度间 $H^{-1}$ 范数与 $2$-Wasserstein 距离之间的经典联系、库仑气体的屏蔽构造（我们提出了其在 $2$-Wasserstein 空间中的适配，这可能具有独立意义），以及与给定平稳点过程相容的平稳“电”场存在的最新充分必要条件。