一类广义棋盘矩阵系综的极限谱测度

随机矩阵理论成功地对许多系统进行了建模，从重原子核的能级到 L-函数的零点。尽管所研究的大多数系综具有连续谱分布，Burkhardt 等人引入了 k-棋盘矩阵系综，这是 Wigner 矩阵的一种变体，其条目以广义棋盘模式固定且为常数。在该族中，N-k 个本征值大小为 O(√N) 并被称为体（bulk），而其余本征值紧密约束在 N 的某个倍数附近并被称为尖峰（blip）。我们通过允许固定条目取不同的常数值来扩展他们的工作。我们可以构造在任意 N 的倍数处具有尖峰本征值的系综，且任意重数（因此我们可以让尖峰出现在如素数或斐波那契数之类的序列处）。多个尖峰的存在带来了技术挑战，以将它们分离并一次仅观察一个尖峰。我们通过选择一个合适的权函数克服这一点，该函数使我们能在每个尖峰处局部化，然后利用相消来处理由此产生的组合问题，从而确定系综的平均矩；接着我们应用概率的标准方法证明，几乎必然地，矩阵的极限分布随着矩阵大小趋于无穷而收敛于平均行为。对于极限中仅有一个本征值的尖峰，我们收敛到狄拉克 delta 尖峰；而若一个尖峰中有 k 个本征值，我们再次得到中空 k×k GOE 行为。