曲面上无向曲线的李括号
群论
2020-12-15 v2 几何拓扑
摘要
在自由同伦类无向闭曲线的线性张量上定义的一个李括号，是经由Thurston的地震形变、Wolpert用哈密顿向量场所作的相应计算，以及Goldman对后者的代数处理（导出有向闭曲线张量上的李括号）逐步发现的。本文旨在深化对前述李括号的理解，我们称之为Thurston-Wolpert-Goldman李括号，或简称TWG括号。我们给出TWG括号的一个局部直接几何定义，并利用这一几何观点证明三个结果：首先，TWG括号的中心是由平凡环类以及与边界分支或穿孔平行的环类所生成的李子代数；其次，类似结果对由TWG李代数决定的泛包络代数与对称代数的中心也成立；第三，在自然基下，两条非中心曲线的TWG括号总是非中心曲线的线性组合。我们还给出已知结果（即TWG括号计数相交）的一个更简明且更具启发性的证明。最后我们讨论大量计算机证据，暗示一个出人意料且强烈的猜想陈述，将曲线的相交结构与TWG括号联系起来，即：若两条不同无向曲线的TWG括号为零，则这些曲线类具有不相交的代表。主要工具是基础双曲几何与Thurston的地震理论。
引用
@article{arxiv.1910.08991,
title = {The Lie bracket of undirected curves on a surface},
author = {Moira Chas and Arpan Kabiraj},
journal= {arXiv preprint arXiv:1910.08991},
year = {2020}
}