一般增长条件下的 Leray-Lions 存在定理

我们证明了在散度型二阶椭圆方程的 Dirichlet 问题中，微分算符满足一般及 $p,q-$ 增长条件下弱解 $u\in W_{0}^{1,p}\left( \Omega \right) \cap W_{\mathrm{loc}}^{1,q}\left( \Omega \right)$ 的存在性结果。这是将著名的 Leray-Lions 存在定理（在 $q=p$ 的所谓自然增长条件下成立）推广到一般增长条件的首次尝试。我们找到了一种处理一般情形中显式依赖于 $\left( x,u\right)$ 以及梯度变量 $\xi =Du$ 的方法；由于 $p,q-$ 情形，相较于标准情形 $p=q$，这些方面需要特别关注，并带来一些差异与新困难。