支撑于曲线上的带 δ 势的朗道哈密顿量

研究了在 $L^2(R^2)$ 中具有支撑于有限 $C^{1,1}$ 光滑曲线 $\Sigma$ 上的 $\delta$ 势的奇异扰动自伴朗道哈密顿量 $A_\alpha =(i \nabla + A)^2 + \alpha\delta$ 的谱性质。这里 $A = \frac{1}{2} B (-x_2, x_1)^\top$ 是矢势，$B>0$ 是均匀磁场的强度，$\alpha\in L^\infty(\Sigma)$ 是依赖于位置的实数系数，刻画曲线 $\Sigma$ 上奇异相互作用的强度。在对 $A_\alpha$ 及其预解式的定性谱性质进行一般性讨论之后，本文的主要目标之一是对 $A_\alpha$ 在朗道能级 $B(2q+1)$ 附近的局部谱分析。在关于 $\alpha$ 的各种条件下，证明了扰动将朗道能级涂抹成特征值簇，并且这些簇内特征值的聚集速率由 $\alpha$ 支撑的容量所决定。此外，通过证明 $A_\alpha$ 可在范数预解意义下由一族具有适当缩放正则势的朗道哈密顿量逼近，论证了带 $\delta$ 扰动的朗道哈密顿量作为更真实量子系统模型算子的合理性。