本征函数在掠射集附近的 $L^2$ 行为

设 $M$ 为带或不带边界的紧流形，$H\subset M$ 为光滑的内部超曲面。我们研究满足 $(-h^2\Delta_g-1)u=0$ 的拉普拉斯本征函数在 $H$ 上的限制。具体而言，我们通过寻找最优幂次 $s_0$，使得当 $h\to 0$ 时 $(1+h^2\Delta_H)_+^{s_0}u|_H$ 在 $L^2(H)$ 中保持一致有界，来研究当微局部地逼近掠射集时 $u|_H$ 的退化行为。此外，借助圆盘与球面上的例子，我们证明了该界在掠射集附近每个依赖于 $h$ 的尺度上均被饱和。我们将估计应用于量子遍历限制定理。