存在破坏旋转对称性的附加相互作用时的 Kuramoto 模型

Kuramoto 模型是研究自发集体同步现象的范式。本文研究该模型的一种非平凡推广，即引入一项显式破坏模型旋转对称性的相互作用。在惯性系（如实验室系）中，Kuramoto 模型不允许存在定态，即所谓的 Kuramoto（复）同步序参量 $z\equiv re^{i\psi}$ 取时间无关值的态；注意时间无关的 $z$ 意味着 $r$ 与 $\psi$ 均时间无关，后者对应 $\psi$ 以零频率（无转动）旋转的状态。在此背景下，我们追问：对称性破缺项的引入是否足以使实验室系中存在定态？相较于原模型，我们揭示了所得模型相当丰富的相图，存在定态与驻波相。前者中同步序参量 $r$ 具有时间无关的长时间值，而后者中序参量随时间振荡，但其时间平均非零且时间无关。我们的结果基于动力学方程的数值积分，以及借助所谓 Ott-Antonsen 假设对动力学进行的精确分析，该假设可导出序参量的一组约化时间演化方程。