三维海森堡群中的运动学公式

通过研究三维海森堡群 $H_1$ 中的刚体运动群 $PSH(1)$，我们定义了水平线集合的密度与测度。我们证明了凸区域 $D\subset H_1$ 的体积等于相交于 $D$ 的所有水平线上弦长度的积分。作为积分几何中的经典结果，我们还定义了 $PSH(1)$ 的运动学密度，并展示了在 $v$ 包含于 $D_0$ 的条件下，随机投掷向量 $v$ 相交于凸区域 $D\subset D_0$ 的概率。这两个结果均揭示了通过变分方法处理的 Cheng-Hwang-Malchiodi-Yang 工作中几何概率与自然几何量之间的联系。