交错虚拟链的 Khovanov 同调

本文研究交错虚拟链 $L$ 的 Khovanov 同调，并证明其支撑在 $g+2$ 条对角线上，其中 $g$ 等于 $L$ 的虚拟亏格。具体而言，我们证明 $Kh^{i,j}(L)$ 支撑在直线 $j=2i-\sigma_{\xi}+2k-1$ 上，其中 $0\leq k\leq g+1$，$\sigma_{\xi^*}(L)+2g= \sigma_{\xi}(L)$ 为 $L$ 在棋盘着色 $\xi$ 及其对偶 $\xi^*$ 下的符号差。当然，对于经典链，两个符号差相等，这恢复了 Lee 关于 $Kh^{*,*}(L)$ 的 $H$-薄性结果。我们的结果更一般地给出了任意棋盘虚拟链 $L$ 的 Khovanov 同调同调宽度的上界。该界用 $L$ 的交错亏格表示，可视为 Turaev 亏格的虚拟类比。证明依赖于为任意棋盘可着色链 $L$ 关联一个具有相同 Khovanov 同调的交错虚拟链图。在此过程中，我们研究了符号差不变量在垂直与水平镜像对称下的行为。我们还计算了多种情形下的 Khovanov 同调与 Rasmussen 不变量，并应用它们证明若干虚拟纽结的非切片性并确定其切片亏格。文末表 6 列出了至多六交叉交错虚拟纽结的符号差、Khovanov 多项式与 Rasmussen 不变量。