带链的 Jones 多项式

对于每个 n 分量带链 L，我们证明其 Jones 多项式 V(L) 可被平凡链的多项式 V(O^n) 整除。这一整性性质使我们能够定义广义行列式 det V(L) := [V(L)/V(O^n)]_(t=-1)，并由此推导出类似于 Arf 不变量的同余式：每个带链 L = (K_1,...,K_n) 满足 det V(L) = det(K_1) >... det(K_n) 模 32，从而特别地 det V(L) = 1 模 8。这些结果促使我们研究 V(L) = \sum_{k=0}^\infty d_k(L) h^k 在 t=-1 处的幂级数展开，而非常规的 t=1。我们获得了一族链不变量 d_k(L)，始于从跨越 L 的 Seifert 曲面 S 获得的链行列式 d_0(L) = det(L)。不变量 d_k(L) 关于 L 的交叉点变化不是有限型的，但事实证明它们关于 S 的带交叉点变化是有限型的。这一发现构成了有限型曲面不变量理论的起点，该理论有望调和量子不变量与 Seifert 曲面理论，或更广泛地说，与带曲面理论。