从盘中的椭圆配置中构造几何普适 Jones 不变量

我们通过配置空间中的格点交叉点几何构造普适的 Jones 不变量作为一系列不变量的极限。对于任意固定水平 $\mathscr{N}$，我们定义一种新的结不变量，称为“$\mathscr{N}$ 次统一 Jones 不变量”，其在拓扑上全局化了小于 $\mathscr{N}$ 的所有染色 Jones 多项式。该不变量通过支撑于盘中弧线和椭圆上的 Lagrangian 子流形之间的交点来定义。这些 Lagrangian 的几何结构是新颖的：以往的拓扑模型涉及浸入子流形而非嵌入子流形。我们通过定义一种细化 Lawrence 表示的新局部系统来实现这一点，该系统取决于配置空间中椭圆上点分布的重数。从代数侧来看，Habiro 著名的结不变量 \cite{H3} 是全局化染色 Jones 多项式族的普适不变量。他推测该普适不变量还能恢复 ADO 不变量除以亚历山大多项式后的结果，这一命题由 Willetts \cite{W} 在 Habiro 环 \cite{H2} 的某个版本中证明了。我们构造的普适 Jones 不变量属于不同的环，该环内存在映射到 Habiro 环 \cite{H2}。我们证明了我们的不变量恢复了该版本的 Habiro 不变量。区别在于我们的不变量以新的结不变量——$\mathscr{N}$ 次统一 Jones 不变量——的极限形式给出。这些不变量反过来提供了对有界染色的染色 Jones 多项式集合的几何理解，随着染色值的增加，收集的信息也随之增多。