泊松布朗运动的孤立时间

设泊松点过程的节点在 $\R^d$ 中按照布朗运动独立移动。我们研究位于原点的目标粒子的孤立时间，即经过多长时间后，距离该粒子 $r$ 范围内不再有任何泊松点过程的节点。在目标粒子不移动的情况下，我们得到了尾部概率的渐近估计，该估计在维度 $d\geq 3$ 时在指数上紧确至常数因子，在维度 $d=1,2$ 时在指数上紧确至对数因子。在目标粒子允许独立于泊松点过程移动的情况下，我们证明目标粒子避免被孤立的最佳策略是保持不动。