非齐次泊松环境中的随机游走

我们考虑定义在 $\mathbb{R}^d$ 上的运动粒子过程，其定义如下。存在两个独立的随机变量序列 $(T_k)$ 和 $(d_k)$。变量 $T_k$ 非负且构成递增序列，而变量 $d_k$ 构成具有集中在单位球面上的共同分布的 i.i.d. 序列。$d_k$ 的值被解释为方向，$T_k$ 被解释为方向改变的时刻。粒子从零点出发，沿方向 $d_1$ 运动至时刻 $T_1$。随后它将方向改变为 $d_2$ 并在 $T_2$ 减去 $T_1$ 的时间区间内继续运动，依此类推。在所有位置速度恒定。粒子在时刻 $t$ 的位置记为 $X(t)$。我们假设点 $(T_k)$ 构成非齐次泊松点过程，并关注过程 $(X(t))$ 的全局行为，即寻找使得过程 $(Y(T,t), T \text{ 非负})$（其中 $Y(T,t)$ 是由 $B(T)$ 归一化的 $X(tT)$，$t \in (0, 1)$）在 $C(0, 1)$ 中当 $T$ 趋于无穷时弱收敛至某过程 $Y$ 的条件。在本文第二部分，将过程 $X(t)$ 视为 Markov chain。我们为该过程构造了扩散近似并研究了其精度。这部分的主要工具是 parametrix 方法。