布朗蛙模型的渐近行为

我们引入了蛙模型在欧几里得空间上的扩展，并证明了活跃粒子传播的性质。固定 $r>0$，在单位强度泊松点过程 $\mathcal P \subseteq \mathbb R^d - \mathbb B(0,r)$ 的每个点 $x$ 处放置一个粒子。在 $\mathcal{P}$ 中的每个点周围放置一个半径为 $r$ 的球。原点处的粒子做布朗运动。当它碰到某个 $x \in \mathcal P$ 周围的球时，新粒子从包含 $x$ 的簇中各球的中心开始独立的布朗运动。对该簇的后续访问不产生任何作用。这种唤醒过程无限持续。对于小于连续渗流临界阈值的 $r$，我们证明 $\mathcal P$ 中被激活的点集近似于一个线性膨胀的球。此外，在任意固定球内，活跃粒子集合收敛于一个单位强度泊松点过程。